Математический анализ Примеры

$x + \sqrt{7 x - 3}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x + \sqrt{7 x - 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x - 3}$ в виде ${(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 7 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x - 3$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x - 3$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $7 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Этап 2.12

Умножим $7$ на $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 + 0)$

Этап 2.13

Добавим $7$ и $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7$

Этап 2.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 7$

Этап 2.15

Объединим $\frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $7$ .

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7}{2}$

Этап 2.16

Перенесем $7$ влево от ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{7 \cdot {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.17

Перенесем ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{7}{2 {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$