Математический анализ Примеры

$\int (5 e^{2 x} + \frac{1}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5 e^{2 x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \ln (| x |) + C$

Этап 10

Упростим.

$\frac{5}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$