Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $12$ и $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Этап 1.2

Объединим $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ и $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Этап 2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Этап 3

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = x^{6}$ . Тогда $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = x^{6}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Этап 5.3

Перенесем $6$ влево от $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 8

Пусть $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Этап 8.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

По правилу суммы производная $5 + 2 u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 8.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $5$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 8.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 8.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 8.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$