Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sec (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sec (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u_{2}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{2}$

Этап 3.2.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$