Математический анализ Примеры

$e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ at $x = 1$

Этап 1

Запишем $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ в виде уравнения.

$y = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 4

Поскольку $100 e$ является константой относительно $x$ , производная $100 e$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{4}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 6

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Этап 7.1.2

Добавим $e^{x} + 32 x^{3}$ и $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$32 x^{3} + e^{x}$

Этап 8

Найдем производную в $x = 1$ .

$32 {(1)}^{3} + e^{1}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Единица в любой степени равна единице.

$32 \cdot 1 + e^{1}$

Этап 9.2

Умножим $32$ на $1$ .

$32 + e^{1}$

Этап 9.3

Упростим.

$32 + e$