Математический анализ Примеры

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Этап 1

Запишем $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ в виде функции.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (t)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Этап 4

Поскольку $d$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.5

Добавим $- 3$ и $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.6

Возведем $t$ в степень $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.8

Добавим $- 9$ и $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Этап 5.9

Возведем $t$ в степень $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Этап 5.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Этап 5.11

Добавим $3$ и $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Этап 5.12

Перенесем $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Этап 5.13

Изменим порядок $10 t^{- 2}$ и $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{4}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Этап 9

Поскольку $10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Этап 11

Поскольку $12$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $t^{- 8}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Этап 13.1.2

Объединим $t^{- 7}$ и $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Этап 13.1.3

Перенесем $t^{- 7}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Этап 13.2

Упростим.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$