Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x} d x + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \ln (| x |) + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{4}{7}$ и $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + \ln (| x |) + C$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \ln (| x |) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \ln (| x |) + C$