Математический анализ Примеры

$\int (3 - 2 x) \sqrt{9 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 3 - 2 x$ и $d v = \sqrt{9 x}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 (x))}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $9 (x)$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} ({(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{3} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (27 x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.7

Объединим $27$ и $\frac{2}{27}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{27 \cdot 2}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.8

Умножим $27$ на $2$ .

$(3 - 2 x) (\frac{54}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.9

Объединим $\frac{54}{27}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 - 2 x) \frac{54 x^{\frac{3}{2}}}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.10

Вынесем множитель $27$ из $54 x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $27$ из $27$ .

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 (1)} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.11.2

Сократим общий множитель.

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 \cdot 1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.11.3

Перепишем это выражение.

$(3 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.11.4

Разделим $2 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$(3 - 2 x) (2 x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 2.12

Перенесем $2$ влево от $3 - 2 x$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{27} \cdot - 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{27} \cdot - 2$ из-под знака интеграла.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{27} \cdot - 2 \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{27}$ и $- 2$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot - 2}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{- 4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 (x))}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $9 (x)$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Сократим общий множитель.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.8.2

Перепишем это выражение.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{3} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 1 (\frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.11

Умножим $\frac{4}{27}$ на $1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $27$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} (27 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $27$ и $\frac{4}{27}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.2

Умножим $27$ на $4$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{108}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $108$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $27$ из $108$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $27$ из $27$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 (1)} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 \cdot 1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $4$ и $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 8.2.4

Чтобы записать $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 8.2.5

Объединим $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 8.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 8.2.7

Перенесем $5$ влево от $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} (5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}) + C$