Математический анализ Примеры

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Этап 1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Этап 1.2.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Этап 1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Этап 1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Этап 2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Этап 3

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Развернем $(- x + 2) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Этап 3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Этап 3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Этап 3.1.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Этап 3.1.2.2

Добавим $- 6 x$ и $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Этап 3.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Этап 3.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Этап 3.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 2$ в виде $- - 2$ .

$d = - - 2$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$d = 2$

Этап 3.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.5.2.1.1.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $- (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 12 - - 4$

Этап 3.5.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Этап 3.5.2.2

Добавим $12$ и $4$ .

$e = 16$

Этап 3.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Этап 4

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Этап 5.2

Изменим порядок $- u^{2}$ и $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Этап 7

Перепишем $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ в виде $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$