Математический анализ Примеры

$4 x (1 + \ln (x))$

Этап 1

Запишем $4 x (1 + \ln (x))$ в виде функции.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Этап 4.3

Упростим $4 \ln (x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Этап 5

Перепишем $4 x + x \ln (x^{4})$ в виде $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Этап 9

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Этап 10

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 11.3

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 11.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 11.5

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Этап 11.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Этап 11.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 11.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 11.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Этап 14.2

Упростим.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Этап 14.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 14.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 14.4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{4}$ в числитель.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Этап 14.4.3.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Этап 14.4.3.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Этап 14.4.4

Изменим порядок множителей в $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Этап 14.4.5

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$