Математический анализ Примеры

$\frac{2 x - 13}{(x + 1) (x - 2)}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x - 13}{(x + 1) (x - 2)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x - 13}{(x + 1) (x - 2)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x - 13}{(x + 1) (x - 2)} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 4.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x - 2)$ .

$\frac{(2 x - 13) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 13) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x - 13) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 13) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.5.2

Разделим $2 x - 13$ на $1$ .

$2 x - 13 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 13 = \frac{A (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$2 x - 13 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 13 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$2 x - 13 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 13 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 4.1.6.4.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$2 x - 13 = A x - 2 A + (B) (x + 1)$

Этап 4.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 13 = A x - 2 A + B x + B \cdot 1$

Этап 4.1.6.6

Умножим $B$ на $1$ .

$2 x - 13 = A x - 2 A + B x + B$

Этап 4.1.7

Перенесем $- 2 A$ .

$2 x - 13 = A x + B x - 2 A + B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 13 = - 2 A + B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + B$

$- 13 = - 2 A + B$

$2 = A + B$

$- 13 = - 2 A + B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $2 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 2$ .

$A + B = 2$

$- 13 = - 2 A + B$

Этап 4.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 2 - B$

$- 13 = - 2 A + B$

$A = 2 - B$

$- 13 = - 2 A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 13 = - 2 A + B$ на $2 - B$ .

$- 13 = - 2 (2 - B) + B$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим $- 2 (2 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 13 = - 2 \cdot 2 - 2 (- B) + B$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 13 = - 4 - 2 (- B) + B$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 13 = - 4 + 2 B + B$

$A = 2 - B$

$- 13 = - 4 + 2 B + B$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.2.2.1.2

Добавим $2 B$ и $B$ .

$- 13 = - 4 + 3 B$

$A = 2 - B$

$- 13 = - 4 + 3 B$

$A = 2 - B$

$- 13 = - 4 + 3 B$

$A = 2 - B$

$- 13 = - 4 + 3 B$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $- 13 = - 4 + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + 3 B = - 13$ .

$- 4 + 3 B = - 13$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 B = - 13 + 4$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3.2.2

Добавим $- 13$ и $4$ .

$3 B = - 9$

$A = 2 - B$

$3 B = - 9$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3.3

Разделим каждый член $3 B = - 9$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Разделим каждый член $3 B = - 9$ на $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 9}{3}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{- 9}{3}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{- 9}{3}$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.3.1

Разделим $- 9$ на $3$ .

$B = - 3$

$A = 2 - B$

$B = - 3$

$A = 2 - B$

$B = - 3$

$A = 2 - B$

$B = - 3$

$A = 2 - B$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 2 - B$ на $- 3$ .

$A = 2 - (- 3)$

$B = - 3$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Упростим $2 - (- 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$A = 2 + 3$

$B = - 3$

Этап 4.3.4.2.1.2

Добавим $2$ и $3$ .

$A = 5$

$B = - 3$

$A = 5$

$B = - 3$

$A = 5$

$B = - 3$

$A = 5$

$B = - 3$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = 5, B = - 3$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{5}{x + 1} + \frac{- 3}{x - 2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{x + 1} d x + \int - \frac{3}{x - 2} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{3}{x - 2} d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{x - 2} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{x - 2} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{x - 2} d x$

Этап 10

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Этап 11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 12

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 12.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$5 \ln (| u_{1} |) - 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$5 \ln (| x + 1 |) - 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$5 \ln (| x + 1 |) - 3 \ln (| x - 2 |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x - 13}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$F (x) =$ $5 \ln (| x + 1 |) - 3 \ln (| x - 2 |) + C$