Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - lim_{x \to 0} 3}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 9} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Добавим $0$ и $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{x + 9} - 3} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9} - 3]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 9} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.3

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.13

Умножим $\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.6.14

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.8

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 9}$ .

$lim_{x \to 0} (2 x + 2) (2 \sqrt{x + 9})$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} (2 x + 2) \sqrt{x + 9}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 x + 2 \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак радикала.

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}$

Этап 2.8

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 (2 lim_{x \to 0} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} x + 9}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (2 \cdot 0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 (0 + 2) \cdot \sqrt{0 + 9}$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot \sqrt{0 + 9}$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $9$ .

$4 \cdot \sqrt{9}$

Этап 4.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 \cdot 3$

Этап 4.7

Умножим $4$ на $3$ .

$12$