Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} {(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении ${(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 4} \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

${(\frac{12 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(\frac{12 - 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.1.3

Вычтем $4$ из $12$ .

${(\frac{8}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

${(\frac{8}{16 + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2.4

Добавим $16$ и $12$ .

${(\frac{8}{28 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2.5

Вычтем $1$ из $28$ .

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.3

Применим правило умножения к $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.4.4

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{27^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{2}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 11.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 11.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3^{1}}$

Этап 11.5.4

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$