Математический анализ Примеры

$2 \arctan (x)$

Этап 1

Запишем $2 \arctan (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \arctan (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (x)$ и $d v = 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 6

Объединим $x$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Этап 8.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Этап 11

Упростим.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\ln (| x^{2} + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Этап 13.2

Чтобы записать $\arctan (x) x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Этап 13.3

Объединим $\arctan (x) x$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Этап 13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 13.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 13.5.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 13.6

Перенесем $2$ влево от $\arctan (x) x$ .

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 13.7

Изменим порядок множителей в $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$