Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{x} - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.3

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9 + \sqrt{9} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{9 + \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{9 + 3 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 9} \frac{x + \sqrt{x} - 12}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sqrt{x} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x + \sqrt{x} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.6.2.2

Добавим $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Этап 1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Этап 1.6

Разделим $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $9$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 1}{\sqrt{9}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 1}{\sqrt{9}}$

Этап 4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 1}{\sqrt{9}}$

Этап 4.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 1}{\sqrt{9}}$

Этап 4.1.4

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{9}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{7}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{6}$

Десятичная форма:

$1.1\overline{6}$