Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} (3 f (x) + 2) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{2}^{5} 3 f (x) + 2 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} 3 f x d x + \int_{2}^{5} 2 d x$

Этап 3

Поскольку $3 f$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 f$ из-под знака интеграла.

$3 f \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} 2 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 f \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 f \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 f \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5} + 2 x]_{2}^{5}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$3 f ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 2 x]_{2}^{5}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $2 x$ в $5$ и в $2$ .

$3 f (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$3 f (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 f (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 f (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 f (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 f (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 f (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 f (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 f (\frac{25}{2} - 2) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.5

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 f (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 f (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 f \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.8.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 f \frac{25 - 4}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.8.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$3 f \frac{21}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.9

Объединим $3$ и $\frac{21}{2}$ .

$f \frac{3 \cdot 21}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.10

Умножим $3$ на $21$ .

$f \frac{63}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.11

Объединим $f$ и $\frac{63}{2}$ .

$\frac{f \cdot 63}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.12

Перенесем $63$ влево от $f$ .

$\frac{63 \cdot f}{2} + 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.13

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{63 f}{2} + 10 - 2 \cdot 2$

Этап 7.1.3.14

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{63 f}{2} + 10 - 4$

Этап 7.1.3.15

Вычтем $4$ из $10$ .

$\frac{63 f}{2} + 6$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{63}{2} f + 6$

Этап 8

Объединим $\frac{63}{2}$ и $f$ .

$\frac{63 f}{2} + 6$

Этап 9