Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

Этап 5.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{3 x^{3}}$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

Этап 6.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Этап 6.1.3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Этап 6.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{t^{3}}$ стремится к $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Этап 6.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем предел $\frac{1}{3}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

Этап 6.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

Этап 6.3.2.1.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

Этап 6.3.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{2}{3}$