Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x x'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 x x'$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 y x' + 2 x x'$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = - 2 x^{2} y$

Этап 5.1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 y^{2} x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 x'$ из $- 2 y x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y)$ .

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x$ .

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ на $2 (y^{2} x - y + x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ на $2 (y^{2} x - y + x)$ .

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} x - y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{x}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- x^{2} y + x}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} y$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x^{1}}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x \cdot 1}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x y) + x \cdot 1$ .

$x' = \frac{x (- x y + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y$ .

$x' = \frac{x (- (x y) + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y) - 1 (- 1))}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x y) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.6.1

Перепишем $- (x y - 1)$ в виде $- 1 (x y - 1)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Этап 5.3.3.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$