Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 15$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Этап 6

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{3}}{2^{3}} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.3

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{2^{2}} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.5

Объединим $5$ и $\frac{π^{2}}{4}$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 (- 1) \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Этап 8.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 1 \cdot 15$

Этап 8.7

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

Десятичная форма:

$- 1.92880256 \dots$