Математический анализ Примеры

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

Этап 1

Запишем $e^{\frac{x + 1}{2}}$ в виде функции.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = \frac{x + 1}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \frac{x + 1}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x + 1}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.1.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Этап 4.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.1.6.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Этап 8

Упростим.

$2 e^{u} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$