Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.10

Объединим $12$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.12

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{5}{3}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Этап 2.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Этап 2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

Этап 2.12.2

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.12.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.1.3

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 4.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 4.1.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.10

Объединим $12$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.12

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 4.1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

Этап 9.3.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Этап 9.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{8}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.2.2

Окончательный ответ: $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11