Математический анализ Примеры

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 3 y^{2} - x$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $3 y^{2} - x$ на $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $3 y^{2} - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + 0)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $6 y$ и $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y \cdot y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y^{1})}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{1 + 1}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{2}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 7

Вычтем $6 y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - (x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 8.4

Перепишем $- (3 y^{2} + x)$ в виде $- 1 (3 y^{2} + x)$ .

$\frac{- 1 (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Этап 8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 y^{2} + x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$