Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$- 3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 75$ является константой относительно $x$ , производная $- 75 x$ по $x$ равна $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 75$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $125$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 75]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.3.3

Умножим $30$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 + \frac{d}{d x} (- 75)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 75$ является константой относительно $x$ , производная $- 75$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 6 x + 30$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$- 3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 75$ является константой относительно $x$ , производная $- 75 x$ по $x$ равна $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 75$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [125]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $125$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 30 x - 75$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $30 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 75 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 75$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 10 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 (25)$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \cdot 5 + 30$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 6$ на $5$ .

$- 30 + 30$

Этап 9.2

Добавим $- 30$ и $30$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 5)$ в первую производную $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 30 (0) - 75$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 30 (0) - 75$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 30 (0) - 75$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $30$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 75$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 - 75$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $75$ из $0$ .

$f' (0) = - 75$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 75$ .

$- 75$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $8$ , из интервала $(5, \infty)$ в первую производную $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = - 3 {(8)}^{2} + 30 (8) - 75$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot 64 + 30 (8) - 75$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 3$ на $64$ .

$f' (8) = - 192 + 30 (8) - 75$

Этап 10.3.2.1.3

Умножим $30$ на $8$ .

$f' (8) = - 192 + 240 - 75$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $- 192$ и $240$ .

$f' (8) = 48 - 75$

Этап 10.3.2.2.2

Вычтем $75$ из $48$ .

$f' (8) = - 27$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 27$ .

$- 27$

Этап 10.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 5$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11