Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{3} \sin (x)$ по $x$ равна $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Разделим дроби.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.7

Разделим дроби.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Этап 2.11

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 2.12

Разделим каждый член $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 2.12.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Этап 2.12.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 2.15

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 2.16

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 2.16.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 2.16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 2.16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 2.16.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{3}$ вместо $x$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 1}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4}{2}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{4 π}{3}$ вместо $x$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.2.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$- 2$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ , для любого целого $n$

Этап 5