Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $v^{4}$ из $v^{4} + 4 v^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим на $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $v^{4}$ из $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $v^{4}$ из $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $v^{4}$ из $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Этап 2

Изменим порядок $1$ и $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Этап 3

Разделим $4 v^{4} + 1$ на $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 v^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 v^{4} + 0$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Этап 3.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Этап 3.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Этап 6

По правилу степени интеграл $v^{3}$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\frac{v^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\ln (| v |)$ в $2$ и в $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.5

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.7.1

Умножим $4$ на $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.8

Объединим $4$ и $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.9

Умножим $4$ на $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.10

Сократим общий множитель $60$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.1.3.10.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 9.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Этап 9.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Этап 9.3.3

Разделим $2$ на $1$ .

$15 + \ln (2)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$15 + \ln (2)$

Десятичная форма:

$15.69314718 \dots$

Этап 11