Математический анализ Примеры

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Этап 5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Этап 5.4.2

Умножим ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 11.3

Перенесем ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Этап 12

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

Этап 14

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x + 3}$

Этап 15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Этап 15.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Этап 15.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Этап 16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.2

Пусть $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.2.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{1} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.1.2

Упростим.

$\frac{3 \frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 \frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{3 \frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.4.4.3

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{3 \frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Объединим $3$ и $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Этап 16.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Этап 16.5.3

Перепишем $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ в виде произведения.

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Этап 16.5.4

Умножим $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Этап 16.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Этап 16.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Этап 16.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 3)}$

Этап 16.6.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Этап 16.6.2.2

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 16.6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 16.6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 16.6.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$