Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} + 9 = 4 x - 10 y$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} + 9 - 4 x = - 10 y$

Этап 1.2

Добавим $10 y$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + y^{2} + 9 - 4 x + 10 y = 0$

Этап 1.3

Перенесем $9$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 9 = 0$

Этап 2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y = - 9$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 3.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 3.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 3.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Этап 4

Подставим ${(x - 2)}^{2} - 4$ вместо $x^{2} - 4 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y = - 9$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 10 y = - 9$

Этап 5

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 9 + 4$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} + 10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{1}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 6.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 5)}^{2} - 25$ .

${(y + 5)}^{2} - 25$

Этап 7

Подставим ${(y + 5)}^{2} - 25$ вместо $y^{2} + 10 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y = - 9$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 9 + 4$

Этап 8

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 4 + 25$

Этап 9

Упростим $- 9 + 4 + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $- 9$ и $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 5 + 25$

Этап 9.2

Добавим $- 5$ и $25$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 20$

Этап 10

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 11

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 2 \sqrt{5}$

$h = 2$

$k = - 5$

Этап 12

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(2, - 5)$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(2, - 5)$

Радиус: $2 \sqrt{5}$

Этап 14