Математический анализ Примеры

$\int csch (\frac{1}{2} x) \coth (\frac{1}{2} x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{2} x$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{2} x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int csch (u) \coth (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int csch (u) \coth (u) (1 \cdot 2) d u$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int csch (u) \coth (u) \cdot 2 d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $csch (u) \coth (u)$ .

$\int 2 csch (u) \coth (u) d u$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int csch (u) \coth (u) d u$

Этап 4

Поскольку производная $- csch (u)$ равна $csch (u) \coth (u)$ , интеграл $csch (u) \coth (u)$ равен $- csch (u)$ .

$2 (- csch (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

$2 (- csch (u)) + C$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 csch (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{2} x$ .

$- 2 csch (\frac{1}{2} x) + C$