Математический анализ Примеры

$2 x \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $2 x \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x \sqrt{x} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Этап 4.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Этап 4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Этап 4.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Этап 4.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$