Математический анализ Примеры

$4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x] + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 (x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \cdot 1) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.10

Умножим $5$ на $1$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) (2 x))$

Этап 3.12

Перенесем $2$ влево от $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ .

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + 2 \cdot (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (5 x)) x)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3}) x + 2 (- 2 x^{2}) x + 2 (5 x) x)$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} (9 x^{2})) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x^{2 + 2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 (x^{4} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.2

Перенесем $9$ влево от $x^{4}$ .

$4 (9 \cdot x^{4}) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.3

Умножим $9$ на $4$ .

$36 x^{4} + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Перенесем $x$ .

$36 x^{4} + 4 (x \cdot x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{4} + 4 (x^{1} x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x^{4} + 4 (x^{1 + 2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$36 x^{4} + 4 (x^{3} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.5

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$36 x^{4} + 4 (- 4 \cdot x^{3}) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.6

Умножим $- 4$ на $4$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.7

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (5 \cdot x^{2}) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.8

Умножим $5$ на $4$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.9

Умножим $3$ на $2$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{3} x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 (x^{1} x^{3})) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{1 + 3}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.12

Добавим $1$ и $3$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{4}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.13

Умножим $6$ на $4$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.14

Умножим $- 2$ на $2$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{2} x) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 (x^{1} x^{2})) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{1 + 2}) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.17

Добавим $1$ и $2$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.18

Умножим $- 4$ на $4$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (2 (5 x) x)$

Этап 4.5.19

Умножим $5$ на $2$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x \cdot x)$

Этап 4.5.20

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x))$

Этап 4.5.21

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x^{1}))$

Этап 4.5.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{1 + 1})$

Этап 4.5.23

Добавим $1$ и $1$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{2})$

Этап 4.5.24

Умножим $10$ на $4$ .

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

Этап 4.5.25

Добавим $36 x^{4}$ и $24 x^{4}$ .

$60 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

Этап 4.5.26

Вычтем $16 x^{3}$ из $- 16 x^{3}$ .

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x^{2}$

Этап 4.5.27

Добавим $20 x^{2}$ и $40 x^{2}$ .

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 60 x^{2}$