Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u_{2} = x + 4$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = x + 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 5.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x + 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $4$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 7

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\ln (| u_{1} |)$ в $2$ и в $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Этап 8.2

Найдем значение $- {u_{2}}^{- 1}$ в $5$ и в $4$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

Этап 8.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Этап 8.3.3

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 8.3.4

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.5.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.5.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

Этап 8.3.5.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

Этап 8.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

Этап 8.3.7

Добавим $- 4$ и $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

Этап 9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Этап 10.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

Этап 10.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Десятичная форма:

$0.74314718 \dots$

Этап 12