Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x {(3 x + 4)}^{2}$

Этап 1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x {(3 x + 4)}^{2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} {(3 x + 4)}^{2}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(3 x + 4)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x + 4)}^{2}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4)}^{2}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4)}^{2}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 4)}^{2}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 4)}^{2}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$4 (\frac{- 1}{2}) \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8.1.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 1 \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $3 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 \cdot {(- 3 (\frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Этап 8.3.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \cdot {(\frac{- 3}{2} + 4)}^{2}$

Этап 8.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + 4)}^{2}$

Этап 8.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Этап 8.5

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}^{2}$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \cdot {(\frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2})}^{2}$

Этап 8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $4$ на $2$ .

$- 2 \cdot {(\frac{- 3 + 8}{2})}^{2}$

Этап 8.7.2

Добавим $- 3$ и $8$ .

$- 2 \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}$

Этап 8.8

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$- 2 \cdot \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Этап 8.9

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 2 \cdot \frac{25}{2^{2}}$

Этап 8.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \cdot \frac{25}{4}$

Этап 8.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \cdot \frac{25}{4}$

Этап 8.11.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot - 1 \cdot \frac{25}{2 \cdot 2}$

Этап 8.11.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \cdot \frac{25}{2 \cdot 2}$

Этап 8.11.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot \frac{25}{2}$

Этап 8.12

Перепишем $- 1 (\frac{25}{2})$ в виде $- (\frac{25}{2})$ .

$- \frac{25}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{25}{2}$

Десятичная форма:

$- 12.5$