Математический анализ Примеры

$y - 2 x^{2} = x y - 5$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (x y - 5)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' - 2 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y' - 4 x$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 4 x + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x y - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x y' + y + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $x y' + y$ и $0$ .

$x y' + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 x + y' = x y' + y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x y'$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x + y' - x y' = y$

Этап 5.2

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$y' - x y' = y + 4 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' = y + 4 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x) = y + 4 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- x)$ .

$y' (1 - x) = y + 4 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (1 - x) = y + 4 x$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - x) = y + 4 x$ на $1 - x$ .

$\frac{y' (1 - x)}{1 - x} = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - x)}{1 - x} = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y + 4 x}{1 - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 4 x}{1 - x}$