Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{4}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Этап 1.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{4}}$

Этап 1.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{4 x^{3}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 2.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Этап 2.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{4 x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 2.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{4 (3 x^{2})}$

Этап 2.3.5

Умножим $3$ на $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{12 x^{2}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 3.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Этап 3.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{12 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{12 (2 x)}$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{24 x}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 4.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Этап 4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{24 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 4.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Этап 4.3.3

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{24 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{24 \cdot 1}$

Этап 4.3.5

Умножим $24$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{24}$

Этап 5

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $\frac{1}{24}$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $\frac{1}{24}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Этап 5.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\infty$