Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\sin (x^{2} - 6 x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\sin (x^{2} - 6 x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \sin (x^{2} - 6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\cos (x^{2} - 6 x)$ и $\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \cdot 1)$

Этап 3.3.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.3

Умножим $2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$x \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.3.2

Объединим $x$ и $\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.4

Объединим $- 6$ и $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - \frac{6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ из $2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Вынесем множитель $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ из $2 x \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.7.2

Вынесем множитель $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ из $- 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 3.4.7.3

Вынесем множитель $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ из $2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$