Математический анализ Примеры

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{5} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Этап 2.1.4.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, 6, - 3$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $6$ в $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $6$ в степень $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $6$ в степень $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $- 12$ на $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Этап 4.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Запишем $- 1296$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $\frac{- 1296}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $\frac{- 1296}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Этап 4.3.2.2.4

Запишем $- 2592$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Этап 4.3.2.2.5

Умножим $\frac{- 2592}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.3.2.2.6

Умножим $\frac{- 2592}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Этап 4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Этап 4.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $- 1296$ на $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Этап 4.3.2.4.2

Умножим $- 2592$ на $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Этап 4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вычтем $6480$ из $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Этап 4.3.2.5.2

Вычтем $12960$ из $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Этап 4.4

Подставляя $6$ в $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , найдем точку $(6, - \frac{11664}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Этап 4.5

Подставим $- 3$ в $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.4

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.6

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Этап 4.5.2.1.7

Умножим $- 12$ на $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Этап 4.5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Запишем $- 81$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Этап 4.5.2.2.2

Умножим $\frac{- 81}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Этап 4.5.2.2.3

Умножим $\frac{- 81}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Этап 4.5.2.2.4

Запишем $324$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Этап 4.5.2.2.5

Умножим $\frac{324}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.5.2.2.6

Умножим $\frac{324}{1}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Этап 4.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Этап 4.5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Умножим $- 81$ на $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Этап 4.5.2.4.2

Умножим $324$ на $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Этап 4.5.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Вычтем $405$ из $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Этап 4.5.2.5.2

Добавим $- 648$ и $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Этап 4.5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Этап 4.6

Подставляя $- 3$ в $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ , найдем точку $(- 3, \frac{972}{5})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $4$ на $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 12$ на $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 72$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $115.32$ из $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 234.484$ и $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 11.284$ .

$- 11.284$

Этап 6.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $- 11.284$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.9

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.12

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.12.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.12.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.12.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.13

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.14.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Этап 7.2.1.14.2

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Этап 7.2.1.14.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Этап 7.2.1.14.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Этап 7.2.1.15

Умножим $- 36$ на $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Этап 7.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Запишем $- 27$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Этап 7.2.2.2

Умножим $\frac{- 27}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Этап 7.2.2.3

Умножим $\frac{- 27}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Этап 7.2.2.4

Запишем $108$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Этап 7.2.2.5

Умножим $\frac{108}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.2.6

Умножим $\frac{108}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $- 27$ на $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $108$ на $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Вычтем $54$ из $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 81$ и $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Этап 7.3

При $- \frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $67.5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 3, 0)$ .

Возрастание в области $(- 3, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 6)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Этап 8.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 12$ на $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Этап 8.2.1.5

Умножим $- 72$ на $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Этап 8.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $108$ из $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $216$ из $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 216$ .

$- 216$

Этап 8.3

При $3$ вторая производная имеет вид $- 216$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 6)$ .

Убывание на $(0, 6)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(6, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.1$ .

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $6.1$ в степень $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Этап 9.2.1.2

Умножим $4$ на $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Этап 9.2.1.3

Возведем $6.1$ в степень $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 12$ на $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Этап 9.2.1.5

Умножим $- 72$ на $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Этап 9.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $446.52$ из $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $439.2$ из $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $22.204$ .

$22.204$

Этап 9.3

При $6.1$ вторая производная имеет вид $22.204$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(6, \infty)$ .

Возрастание в области $(6, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 10

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Этап 11