Математический анализ Примеры

$3 y + 2 x^{2} = - x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 y + 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 y + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y' + 2 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$3 y' + 4 x$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$4 x + 3 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- (x y' + y)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- x y' - y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x + 3 y' = - x y' - y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $x y'$ к обеим частям уравнения.

$4 x + 3 y' + x y' = - y$

Этап 5.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y' + x y' = - y - 4 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y' + x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y'$ .

$y' \cdot 3 + x y' = - y - 4 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' \cdot 3 + y' x = - y - 4 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 3 + y' x$ .

$y' (3 + x) = - y - 4 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (3 + x) = - y - 4 x$ на $3 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (3 + x) = - y - 4 x$ на $3 + x$ .

$\frac{y' (3 + x)}{3 + x} = \frac{- y}{3 + x} + \frac{- 4 x}{3 + x}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 + x)}{3 + x} = \frac{- y}{3 + x} + \frac{- 4 x}{3 + x}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{3 + x} + \frac{- 4 x}{3 + x}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y - 4 x}{3 + x}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 4 x}{3 + x}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (y) - (4 x)}{3 + x}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - (4 x)$ .

$y' = \frac{- (y + 4 x)}{3 + x}$

Этап 5.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Перепишем $- (y + 4 x)$ в виде $- 1 (y + 4 x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 4 x)}{3 + x}$

Этап 5.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y + 4 x}{3 + x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 4 x}{3 + x}$