Математический анализ Примеры

$2 e^{\sqrt{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ и $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 12.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$