Математический анализ Примеры

$\ln (x d x)$

Этап 1

Запишем $\ln (x d x)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x d x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln (x d x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \ln (d (x^{1} x)) d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \ln (d (x^{1} x^{1})) d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \ln (d x^{1 + 1}) d x$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \ln (d x^{2}) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (d x^{2})$ и $d v = 1$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int x \frac{2}{x} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{x}$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x} d x$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{2 \cdot x}{x} d x$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{2 x}{x} d x$

Этап 6.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (d x^{2}) x - \int 2 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (d x^{2}) x - (2 x + C)$

Этап 8

Перепишем $\ln (d x^{2}) x - (2 x + C)$ в виде $\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$ .

$\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln (x d x)$ .

$F (x) =$ $\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$