Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 7.2

Объединим ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 7.3

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 7.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 8

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$