Математический анализ Примеры

$y = (2 x - 1) (3 x + 5)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (3 x + 5))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x - 1$ и $g (x) = 3 x + 5$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 5] + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$(2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [5]) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x - 1) (3 + 0) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$(2 x - 1) \cdot 3 + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 x - 1$ .

$3 \cdot (2 x - 1) + (3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) (2 + 0)$

Этап 3.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 (2 x - 1) + (3 x + 5) \cdot 2$

Этап 3.2.12.2

Перенесем $2$ влево от $3 x + 5$ .

$3 (2 x - 1) + 2 \cdot (3 x + 5)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + 2 (3 x + 5)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot 5$

Этап 3.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 3 \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot 5$

Этап 3.3.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 x - 3 + 2 (3 x) + 2 \cdot 5$

Этап 3.3.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x - 3 + 6 x + 2 \cdot 5$

Этап 3.3.3.4

Умножим $2$ на $5$ .

$6 x - 3 + 6 x + 10$

Этап 3.3.3.5

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$12 x - 3 + 10$

Этап 3.3.3.6

Добавим $- 3$ и $10$ .

$12 x + 7$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 12 x + 7$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x + 7$