Математический анализ Примеры

$2^{x + 1}$

Этап 1

Запишем $2^{x + 1}$ в виде функции.

$f (x) = 2^{x + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2^{x + 1} d x$

Этап 4

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 2^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $2^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$

Этап 6

Перепишем $\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C$ в виде $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x + 1} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2^{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x + 1} + C$