Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} x^{4} + lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Этап 2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$3^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$3^{4} + 3^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$3^{4} + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$3^{4} + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

Этап 9.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 + 27 - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

Этап 9.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 + 27 - 4 \cdot 9 - 2 \cdot 3 + 1$

Этап 9.1.4

Умножим $- 4$ на $9$ .

$81 + 27 - 36 - 2 \cdot 3 + 1$

Этап 9.1.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$81 + 27 - 36 - 6 + 1$

Этап 9.2

Добавим $81$ и $27$ .

$108 - 36 - 6 + 1$

Этап 9.3

Вычтем $36$ из $108$ .

$72 - 6 + 1$

Этап 9.4

Вычтем $6$ из $72$ .

$66 + 1$

Этап 9.5

Добавим $66$ и $1$ .

$67$