Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[1, 7]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{3}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 7]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $7$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Этап 7.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Этап 7.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Этап 7.3.3

Разделим $7$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Этап 8

Вычтем $1$ из $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Этап 9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Этап 9.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Этап 9.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Этап 9.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Этап 10

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Этап 11