Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Этап 1

Запишем $\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos^{2} (x) \cdot \sin (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - u^{2} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 7

Перепишем $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$