Математический анализ Примеры

$- 3 - 4 x^{3} = 2 y + x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- 3 - 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y + x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 3 - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Этап 2.3

Вычтем $12 x^{2}$ из $0$ .

$- 12 x^{2}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 y + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y' + x y' + y \cdot 1$

Этап 3.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$2 y' + x y' + y$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$x y' + y + 2 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 12 x^{2} = x y' + y + 2 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$ .

$x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$

Этап 5.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y'$ .

$y' x + y' \cdot 2 = - 12 x^{2} - y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x + y' \cdot 2$ .

$y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ на $x + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ на $x + 2$ .

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} - \frac{y}{x + 2}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - y}{x + 2}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - y}{x + 2}$

Этап 5.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - (y)}{x + 2}$

Этап 5.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x^{2}) - (y)$ .

$y' = \frac{- (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

Этап 5.4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.5.1

Перепишем $- (12 x^{2} + y)$ в виде $- 1 (12 x^{2} + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

Этап 5.4.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$