Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Этап 4

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ в $\sec^{2} (2 x)$ .

$\int \sec^{2} (2 x) d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $\sec^{2} (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 8

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{2} \tan (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \tan (2 x) + C$