Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $x^{2} - 2 x - 3$ и $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $x^{2} - 2 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} - 2 x - 3$ .

$x^{2} - 2 x - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (3) - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 - 2$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$4$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = 3^{2} - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 9 - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 9 - 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (3) = 9 - 9 - 3 \cdot 3 + 4$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (3) = 9 - 9 - 9 + 4$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f (3) = 0 - 9 + 4$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$f (3) = - 9 + 4$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 9$ и $4$ .

$f (3) = - 5$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (- 1) - 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 2$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$- 4$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + (- 1) {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{1 + 2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 - 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} + 3 + 4$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 + 4$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 3 + 4$

Этап 15.2.2.4

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} + 4$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 4$

Этап 15.2.2.7

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 1 - 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 12}{3}$

Этап 15.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 9 + 12}{3}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $- 4$ и $9$ .

$f (- 1) = \frac{5 + 12}{3}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $5$ и $12$ .

$f (- 1) = \frac{17}{3}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{17}{3}$ .

$y = \frac{17}{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$ .

$(3, - 5)$ — локальный минимум

$(- 1, \frac{17}{3})$ — локальный максимум

Этап 17