Математический анализ Примеры

$\int (\sin (x)) (\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x)) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \sin (x) (\sec (x) + \csc (x)) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) \sec (x) + \sin (x) \csc (x) d x$

Этап 1.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \csc (x) d x$

Этап 1.4

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \csc (x) d x$

Этап 1.5

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $\csc (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \csc (x) \sin (x) d x$

Этап 1.5.2

Выразим $\sin (x) \csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) d x$

Этап 1.5.3

Сократим общие множители.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 d x$

Этап 1.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \tan (x) + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \tan (x) d x + \int d x$

Этап 3

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| \sec (x) |) + C + x + C$

Этап 5

Упростим.

$\ln (| \sec (x) |) + x + C$