Математический анализ Примеры

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ и $g (y) = 5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.6.3

Перенесем ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $5 x - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Этап 3.8

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 x$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

Этап 3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

Этап 3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $5 x'$ и $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

Этап 3.11.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

Этап 3.11.3

Объединим $\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x'$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.3.1.1.3

Сократим общий множитель ${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$